Matemáticas puras
Srinivasa Ramanujan ha sido uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos. Aunque casi no tuvo educación formal en matemáticas puras, hizo contribuciones sustanciales al análisis, la teoría de números, las series infinitas y las fracciones continuas, incluidas soluciones a problemas matemáticos que se consideraban irresolubles. En una carrera que solo duró alrededor de diez años, produjo cientos de resultados altamente innovadores.
Ramanujan nació en 1887, en el seno de una humilde familia brahmán al sur de la India. Adquirió de su madre profundas creencias religiosas y la adhesión a un estricto vegetarianismo. Desde niño destacó en la escuela y a los 10 años ya tenía las mejores calificaciones de su distrito. Era un niño prodigio. A los 11 años, había agotado los conocimientos matemáticos de dos estudiantes universitarios que se hospedaban en su casa. Le prestaron un libro de trigonometría avanzada, y a los 13 años descubría teoremas sofisticados por su cuenta. Completó los exámenes de matemáticas en la mitad del tiempo asignado y mostró familiaridad con la geometría y las series infinitas. En 1902, le mostraron cómo resolver ecuaciones cúbicas, y por su cuenta desarrolló su propio método para resolver las ecuaciones de cuarto grado, y al año siguiente, intentó resolver las de quinto grado.
Adrian Rice en su artículo Srinivasa Ramanujan (1887–1920), señala que la mayor influencia en el desarrollo matemático de Ramanujan, parece haber sido que, a los 16 años, adquirió una copia de A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics de GS Carr, un compendio de cientos de fórmulas y teoremas matemáticos, con muy pocos comentarios. Sin embargo, su contenido parece haber tenido un efecto profundo en Ramanujan, que se fascinó por las fórmulas y la manipulación simbólica. Este libro es reconocido como un elemento clave en el despertar de su genio. Al año siguiente, Ramanujan desarrolló e investigó de forma independiente los números de Bernoulli y calculó la constante de Euler-Mascheroni hasta 15 decimales. Robert Kanigel, autor de The Man Who Knew Infinity,afirma que sus compañeros en ese momento dijeron:
Rara vez lo entendemos, simplemente lo admiramos con respeto.
Cuando se graduó de la secundaria en 1904, el director de la escuela le otorgó a Ramanujan un premio como estudiante sobresaliente, y dijo que merecía puntajes superiores al máximo. Recibió una beca para estudiar en el Government College en Kumbakonam. Sin embargo, su obsesión con su propia investigación matemática resultó en que reprobara los exámenes en la mayoría de las otras asignaturas y perdió su beca. Su salud también se empezó a complicar y con frecuencia se ausentaba de clases por enfermedad. En 1907 se inscribió en Pachaiyappa’s College, allí, aprobó matemáticas, pero también se desempeñó mal en las otras materias, como inglés, fisiología y sánscrito y no pudo graduarse. A los 20 años, sin un título, dejó la universidad y continuó realizando una investigación independiente en matemáticas, viviendo en la pobreza extrema y, a menudo, al borde de la inanición. Según la costumbre local, en julio de 1909, Ramanujan se casó con Janaki Ammal de solo 10 años. La esposa de Ramanujan no vivió con él durante los primeros tres años de su matrimonio, luego se mudó con él y su madre.
En 1910, Ramanujan, de 23 años, se reunió con el fundador de la Sociedad Matemática India, V. Ramaswamy Aiyer, quien lo introdujo en los círculos matemáticos locales, y lo llevó a ser incluido como investigador en la Universidad de Madrás. Su primer artículo, Algunas propiedades de los números de Bernoulli, surgió de una investigación realizada en su adolescencia, cuando descubrió y desarrolló los números de Bernoulli ignorando por completo cualquier investigación previa sobre el tema.
Ramanujan, siguió luchando por encontrar un empleo remunerado para mantener a su familia. Logró conseguir un trabajo en Madras Port Trust. Su creciente círculo de amigos comprendía lo peculiar de su trabajo y que éste debía ser evaluado por especialistas de universidades de Gran Bretaña. Sin embargo, los primeros intentos fueron decepcionantes. Escribió cartas a algunos matemáticos de las Universidades de Londres y Cambridge, que no tuvieron respuesta. Hasta que, en enero de 1913, Ramanujan escribió una de las cartas más famosas de la historia de las matemáticas. Su destinatario fue Godfrey Harold Hardy, profesor del Trinity College de Cambridge.
Hardy nació en 1877, en Inglaterra en el seno de una familia de profesores. Con apenas dos años, ya escribía números hasta millones, y cuando lo llevaban a la iglesia se entretenía factorizando los números de los himnos. Durante sus años escolares, fue el primero de su clase en la mayoría de las materias y ganó muchos premios y galardones, pero odiaba tener que recibirlos frente a toda la escuela. En 1896 ingresó en el Trinity College de Cambridge. Era extremadamente tímido y fue socialmente torpe, frío y excéntrico durante toda su vida. Ateo, fanático del cricket, nunca se casó. No podía soportar mirar su propio reflejo en un espejo. Se dice que, cuando se alojaba en los hoteles, tapaba todos los espejos con toallas. Mientras estaba en la universidad, Hardy se unió a los Apóstoles de Cambridge, una sociedad secreta intelectual de élite. En 1903 obtuvo su maestría, que era el título académico más alto en las universidades inglesas. Los matemáticos británicos habían permanecido en la tradición de las matemáticas aplicadas, Hardy estaba más en sintonía con los métodos dominantes en Francia y promovió agresivamente las matemáticas puras. A partir de 1911, comenzó a colaborar con JE Littlewood. A Hardy se le atribuye la reforma de las matemáticas británicas.
La carta enviada por Ramanujan a Hardy tenía varias páginas repletas de intrincadas fórmulas y teoremas. Hardy podría haberla considerado un fraude, una broma o una locura. Pero logró captar su atención y realizó un examen detallado de su contenido en conjunto con Littlewood. Hardy luego escribió sobre la carta de Ramanujan:
Me derrotó por completo; Nunca antes había visto nada parecido a ellos. Un solo vistazo a ellos es suficiente para demostrar que solo podrían ser escritos por un matemático de la clase más alta. Deben ser verdad porque, si no lo fueran, nadie habría tenido la imaginación para inventarlos.
Para Hardy se hizo evidente que Ramanujan era un matemático de una habilidad excepcional, y comenzó a buscar formas para traerlo a Gran Bretaña. Hardy le escribió a Ramanujan una carta expresando interés en su trabajo, y agregó, que era:
Esencial que yo viera demostraciones de algunas de sus afirmaciones.
Ramanujan, de acuerdo con su educación brahmán, se negó a dejar su país para ir a una tierra extranjera; así que, sus amigos en la India solicitaron para él una beca de investigación temporal en la Universidad de Madrás. Esto le permitía concentrarse en su investigación matemática a tiempo completo mientras mantenía a su familia. Debido a la negativa de Ramanujan de viajar a Inglaterra, Hardy le pidió a un colega que daba conferencias en Madrás, EH Neville, que intercediera para traer a Ramanujan a Inglaterra. Neville se enteró que la madre de Ramanujan había tenido un sueño en que la diosa de la familia, Namagiri, le ordenaba:
No interponerse más entre su hijo y el cumplimiento del propósito de su vida.
En marzo de 1914, Ramanujan viajó a Inglaterra, dejando a su esposa con su madre en la India. A su llegada a Cambridge se puso inmediatamente a trabajar con Hardy y Littlewood. Sin embargo, pronto descubrieron que sus metodologías eran profundamente diferentes. Hardy y Littlewood, insistían en el rigor absoluto y las demostraciones formales, mientras que Ramanujan confiaba en su intuición y la experimentación inductiva. Littlewood escribió:
No le interesaba el rigor… [y] la idea clara de lo que significa una demostración… tal vez no la poseía en absoluto.
Ramanujan, tenía brechas significativas de conocimiento matemático de base. Para Hardy la capacidad autodidacta de Ramanujan en funciones elípticas, era sorprendente, pese a que no tenía ninguna experiencia en la teoría de funciones complejas. Hardy buscó los medios para cerrar las brechas académicas de Ramanujan sin apagar su entusiasmo e imaginación.
Adaptarse a Gran Bretaña, era difícil, pero el estallido de la Primera Guerra Mundial, lo hizo peor, ya que el racionamiento hacía cada vez más complejo mantener su estricto régimen vegetariano. Pese a todo, la producción matemática de Ramanujan avanzaba rápidamente. En cuestión de meses estaba publicando artículos. En 1915, publicó un artículo de 60 páginas sobre números primos. Sobre la base de este trabajo, en marzo de 1916, la Universidad de Cambridge le otorgó el título de Licenciado en Ciencias por Investigación, el actual PhD.
En 1916 Ramanujan y Hardy se dedicaron a trabajar en su colaboración más famosa: su artículo conjunto sobre particiones. El número de partición p(n) representa el número de formas en que un entero positivo se puede escribir como una suma de enteros positivos donde el orden de suma no importa. Después de meses de esfuerzo, Ramanujan y Hardy llegaron a una de las fórmulas más asombrosas de todas las matemáticas. Su fórmula mostró una impresionante combinación de ideas e influencias matemáticas. Fue una fusión de los deslumbrantes poderes de la intuición de Ramanujan con el dominio de Hardy de las herramientas de la teoría de la función analítica. Sin el genio intuitivo de Ramanujan, Hardy nunca hubiera formulado un resultado tan asombroso; y sin Hardy, Ramanujan nunca hubiera podido demostrarlo. Littlewood dijo:
Debemos el teorema a una colaboración singularmente feliz de dos hombres, de dones muy diferentes, en la que cada uno contribuyó con el trabajo mejor, más característico y más afortunado que había en él.
La salud de Ramanujan nunca fue buena, pero en mayo de 1917 empeoró. Fue diagnosticado con tuberculosis y deficiencia vitamínica grave. Pasó gran parte del año en albergues, pero su producción matemática, siguió siendo tan notable como siempre. Su ánimo mejoró cuando fue elegido miembro de la London Mathematical Society en diciembre de 1917. Obtuvo becas de la Royal Society en mayo de 1918 y del Trinity College en octubre de 1918. En noviembre de 1918, estaba en condiciones de regresar a India. Hardy escribió:
Regresará a la India con una posición científica y una reputación como ningún indio ha disfrutado antes, y confío en que la India lo considerará el tesoro que es. Su sencillez y modestia naturales nunca se han visto afectadas en lo más mínimo por el éxito; de hecho, todo lo que se quiere es que se dé cuenta de que realmente es un éxito.
Ramanujan, se embarcó a India el 27 de febrero de 1919. Pese a los cuidados médicos, su salud volvió a deteriorarse. Murió el 26 de abril de 1920 a la edad de 32 años.
Ramanujan decía que sus teoremas matemáticos eran inspirados directamente por la diosa Namagiri. Tenía visiones de pergaminos con fórmulas matemáticas complejas que se desplegaban ante sus ojos. Kanigel, registra que a menudo decía:
Para mí, una ecuación no tiene significado a menos que exprese un pensamiento de Dios.
A Hardy se le preguntaba por los métodos que Ramanujan empleaba para llegar a sus soluciones, y señalaba:
Se llegó a ellos mediante un proceso de argumento, intuición e inducción combinados, del cual fue completamente incapaz de dar una explicación coherente.
Una de las historias más conocidas contadas por Hardy dice:
Recuerdo que una vez fui a verlo cuando estaba enfermo en Putney. Había viajado en el taxi No. 1729, y comenté que el número 1729 me parecía bastante aburrido, y que esperaba que no fuera un presagio desfavorable. ‘No’, respondió, ‘es un número muy interesante; es el número más pequeño expresable como suma de dos cubos de dos maneras diferentes.’
Ramanujan estaba dotado de un poder de cálculo y una destreza simbólica inalcanzables para la mayoría de los matemáticos. Tenía una extraña habilidad para detectar patrones ocultos para los demás. Su habilidad para evocar aproximaciones extrañas, pero casi sobrenaturalmente precisas fue otra característica abrumadora de sus capacidades. En los 100 años transcurridos desde su muerte, las matemáticas de Ramanujan siguen siendo una fuente inagotable de inspiración y asombro.
Los cuadernos manuscritos de Ramanujan, que contienen más de 3.000 fórmulas y teoremas, han sido analizados intensamente, y su contenido ha sido probado durante décadas. El descubrimiento de otro cuaderno perdido reveló otros 600 resultados adicionales. Las matemáticas contenidas en estos cuadernos, junto con los artículos publicados han abierto nuevas áreas de investigación y, sin duda, seguirán inspirando y estimulando nuevas ideas matemáticas durante muchos años. En el obituario de Ramanujan, escrito para Nature Hardy señaló:
Combinó un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad para la modificación rápida de sus hipótesis, que a menudo eran realmente sorprendentes y lo hicieron, en su propio campo peculiar, sin rival en su época.
En una entrevista se le preguntó a Hardy cuál había sido su mayor contribución a las matemáticas, sin vacilar, Hardy respondió que fue el descubrimiento de Ramanujan. En una conferencia Hardy dijo:
Mi asociación con él es el único incidente romántico en mi vida.
Parafraseando a Littlewood:
Debemos [esta maravilla] a la colaboración singularmente feliz de dos hombres, de dones muy diferentes, en la que cada uno contribuyó con el trabajo mejor, más característico y más afortunado que había en él.
